Transmission de divisibilité - Corrigé

Énoncé

Soit $a$ et $b$ deux entiers naturels et $p$ un nombre premier supérieur ou égal à $3$ . Montrer que, si $p$ divise $a$ et $a^2-2b^2$ , alors $p$ divise $b$ .

Solution

Comme $p$ divise $a$ , il existe un entier $k\in \mathbb{N}$ tel que $a=pk$ .
De même, comme $p$ divise $a^2-2b^2$ , il existe un entier $\ell \in \mathbb{Z}$ tel que $a^2-2b^2=p\ell$ .

On a donc  $p\ell =a^2-2b^2=(pk{)}^2-2b^2=p^2{k}^2-2b^2$  donc $p(p{k}^2-\ell )=2b^2$ .

Ainsi, $p$ divise $2b^2$ . Or $p$ est un nombre premier supérieur ou égal à $3$ , donc $\mathrm{PGCD}(p;2)=1$ .
D'après le théorème de Gauss, on en déduit que $p$  divise $b^2$ , et donc $p$ divise $b$ .